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上式中umax是异养菌最大比生长速率,Ks是异养菌半速系数,b是异养菌衰减速率系数。
根据前面第1点所述,以微生物增长量为基准,污水水中溶解氧量的变化率可以进一步表示为:
同理,基质的变化率可以表示为:
ASM模型矩阵表示法的基本思路就是用一个表格(或矩阵)来概括上面所有的状态变量、所有的反应式以及所有的反应系数,具体方法是: 用表格的第一行罗列所有状态变量,用表格的最后一列罗列所有反应速率公式,在行、列交叉处放置相应的反应系数,如果状态变量与生化反应没有关联(例如Ss和So都与异养菌衰减过程没有关联),则交叉处用零或空格补齐。这样处理后的结果如下面表-1所示:
表-1
如果把表-1中的第一行作为状态变量矢量(绿色,S),把最右侧的反应速率方程列作为反应方程矢量(蓝色,R),中间的系数表格作为反应系数矩阵(杏黄色,C),那么上述公式Eq-1、Eq-2、Eq-3就完全等价于以下矩阵的微分方程式:
如果把Eq-4展开,就将得到与Eq-1/2/3完全相同的表达式。这里的ʘ是指矩阵的点积运算(也称标量积或点乘)。请注意,反应系数矩阵C在参加点积运算之前需要转置。上述矩阵方法最早在生物化学中采用,称为Petersen矩阵。写到这里,不得不由衷地感谢ASM技术委员会,有了这个矩阵方法,如此复杂繁琐的活性污泥法竟然可以用如此巧妙简洁的方式来表述。如果说这是活性污泥法技术发展史中最惊艳的一笔,应当不过份。顺便提一下,最早将Petersen矩阵引入到活性污泥法模型中的是ASM技术委员会的Willi Gujer教授,令笔者膜拜不已。
上面通过表-1和公式Eq-4演示了ASM模型矩阵表示法的基本原理和方法。众所周知,生化反应中的任何一个状态变量在反应器中都遵循 净增量 = 流入量 - 流出量 + 反应量 的物料平衡方程式,而ASM模型所提供的正是反应量这一项。因此,代入适当的初始条件就可以求解反应系统的物料平衡方程式,得到每个状态变量随反应时间的动态变化情况,从而实现对整个工艺过程的模拟。
ASM模型实际包含的状态变量和反应种类要比上面的例子多很多,但基本步骤和思路完全相同,只要记住上面的矩阵微分方程式Eq-4,无论状态变量和反应式有多少,处理的方法都是一样的。以ASM 1模型最初发布的版本为例,规定的状态变量为13个,覆盖的反应速率方程为8个,矩阵结构参见表-2。
表-2 ASM 1模型矩阵(1987年初始版本)
备注:表-2是ASM 1的最初版本,该版本后来被修订为14个状态变量,增加了反硝化产生的氮气,个别反应式也做了修正,增加了反应速率抑制因素等等。关于ASM 1模型的后续修订详细内容,包括纠错,补遗和变量新命名法则等等,请参见本文推荐的参考书 。
在ASM模型体系中,所有状态变量命名的字母开头都是“S”或“X”。“S” 表示该变量为溶解性物质,即便是气体,也是指该气体溶解到水中的浓度;“X” 表示该变量为颗粒物质浓度。溶解性物质可以直接参与生化过程反应,颗粒物质则必须先经过水解反应成为溶解性物质后才能参与相应的反应过程。另外,溶解性物质在工艺中的固液分离操作中可以不受影响,但颗粒物质则可以得到浓缩或截留。(备注:IWA后来在2010年颁布过一个全新的模型状态变量命名框架,但开头字母的含义并没有改变。本文仍沿用ASM原始的变量命名。)
从ASM模型矩阵中可以看出,某状态变量(或组分)所处的列汇集了该变量在各个反应中的反应速率系数;而某一反应所处的行则代表了各个变量在该反应中相互转换的数量关系。需要注意的是,上面表-2里面的很多系数或常数都是经过试验室测试确定的,而反应速率矩阵中的很多动力学参数大都与温度相关,使用时需要做温度修正。对于一般市政污水,这些参数基本可以大致套用ASM的原始参数,或仅对某些关键参数进行微调;对于工业污水,往往需要根据实际水质对这些参数进行较大幅度的调整或标定。
从上述ASM矩阵列表还可以看到一个很有意思的现象,就是在所有与生物代谢反应相关的速率表达式中,差不多都是类似于因子 B/(A+B) 连乘的格式。在这些因子中,其中一个属于莫诺方程,而其他的因子都称为开关函数,因为A和B的特殊取值可以使该因子的数值接近0或接近1,就像给反应过程加了开关,利用这些因子就可以描述某些水质参数对整个反应速率的影响。例如上面矩阵第二行的反硝化反应,其中因子Sno/(Kno+Sno) 是莫诺方程的一部分,而因子Ss/(Ks+Ss) 此时就相当于碳源的开关函数,它表示当溶解性有机基质或碳源的浓度比较低时,反硝化反应将接近停止,相反当碳源浓度较高时,反硝化反应速率将接近最大化;该公式中的另一个因子Koh/(Koh+So) 相当于溶解氧的开关函数,它说明较低的溶解氧含量有利于反硝化反应的进行,而当溶解氧浓度较高时,反硝化反应将受到一定程度的抑制甚至完全停止。开关函数是ASM模型技术委员会引入的一个重要概念和技巧,它使众多生化反应参数之间的相互制约和影响的定量化描述成为可能。开关函数在其它的工艺模型体系中(如消化池ADM模型)也得到大量的应用。
由于本小节的重点是介绍模型的矩阵表示法,这里仅列出ASM 1模型矩阵所涉及的各个状态变量和反应式,但不做详细说明了。
ASM 1模型的状态变量(最初版本,共13项,参见上面表2):
SALK:碱度(摩尔单位)
Si:溶解性惰性有机物浓度
Ss:溶解性可生化降解基质浓度
Xi:颗粒惰性有机物浓度
Xs:可溶性可生化降解基质浓度
XBH:活性异养菌生物污泥浓度
XBA:活性自养菌生物污泥浓度
XP:微生物衰减产生的污泥颗粒浓度
So:溶解氧浓度(单位为 -COD)
SNO:硝酸盐氮与亚硝酸盐氮浓度
SNH:氨氮浓度(NH3 + NH4)
SND:溶解性可生物降解有机氮浓度
XND:颗粒可生物降解有机氮浓度
ASM 1模型的生化动力学反应(最初版本,共8项,参见上面表2):
异养菌好氧增长
异养菌缺氧增长
自养菌的好氧增长
异养菌的衰亡
自养菌的衰亡
溶解性有机氮的氨化反应
有机质的“水解”反应
有机氮的“水解”反应
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